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向量空间

概念​

向量空间及其相关概念

nn 维实向量的全体构成的集合成为 nn 维向量空间，记作 RnR^n，设 VV 是 RnR^n 的一个非空子集，且对加法和数乘运算封闭，则称 VV 是 RnR^n 的一个子空间，称为 向量空间。

向量空间 VV 中的一个向量组 α1,α2,⋯ ,αr\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r} 线性无关，且 VV 中所有向量都能由其线性表示，则称其为向量空间的一个 基，基所含的向量个数成为 空间的为维数，与基相对应的一个概念是坐标，实际上就是基向量前的系数。

过渡矩阵

向量空间中的两组基之间存在一个过渡矩阵，即使用一组基来线性表示另一组基，变换公式为

(β1,β2,⋯ ,βn)=(α1,α2,⋯αn)C(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots\alpha_{n})C

该可逆矩阵 CC 即为过渡矩阵，并且矩阵 A,BA,B 是列等价的。

坐标变换

对于两组基下的坐标 (x1,x2,⋯ ,xn)T,(y1,y2,⋯ ,ynT)(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^T,(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}^T)，可以使用过渡矩阵对其进行变换

(α1,α2,⋯ ,αn)(x1x2⋮xn)=(β1,β2,⋯ ,βn)(y1y2⋮yn)=(α1,α2,⋯ ,αn)C(x1x2⋮xn)  ⟹  (x1x2⋮xn)=C(y1y2⋮yn)(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\left(\begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right)=(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})\left(\begin{array}{ccc} y_{1}\\ y_{2} \\\vdots \\y_{n}\end{array}\right)=(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C\left(\begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right)\implies \left(\begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{ccc} y_{1}\\ y_{2} \\\vdots \\y_{n}\end{array}\right)
caution

因此这里是和过渡矩阵反过来的，这里能直接消去是因为一个性质 AB=ACAB=AC，若 AA 列满秩，则 B=CB=C.

已知基求解过渡矩阵

(α1,α2,α3)C=(β1,β2,β3)  ⟹  AP=B(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})C=(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})\implies AP=B

已知 A,BA,B，求解 PP，可以变换为 P=A−1BP=A^{-1}B，可以使用增广矩阵 (A,B)→(E,P)(A,B)\to(E,P) 计算得到。

基的规范正交化​

对于给定的一组基，要使其规范正交，可以使用施密特正交化，其解法十分有规律，例如对于一个基 α1,α2,α3\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}，可以先选取第一个向量作为正交向量中的基准，即

β1=α1\beta_{1}=\alpha_{1}

第二个向量应该垂直于 α1\alpha_{1} 即 β1\beta_{1} ，而向量间的投影公式为 (x,y)(y,y)y\frac{(x,y)}{(y,y)}y，表示 xx 在 yy 上的投影向量，再使用原向量减去该投影向量即可以得到一个正交的向量；

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_{2}=\alpha_{2}- \frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}

而后续的向量应该同时正交于之前的所有向量，即

β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α2,β2)(β2,β2)β2\beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}-\frac{(\alpha_{2},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}

列空间​

列空间是 RmR^m 的子空间，其中 mm 为矩阵的行数；列空间对线性方程组有重要意义，对于 Ax=bAx=b，只有 bb 能写为列向量的线性组合即 x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n}a_{n}=b 方程才有解，也即 b 在矩阵 A 的列空间中时，才有解，空间维度为矩阵的秩 rr.

零空间​

齐次方程组 Ax=0Ax=0 的所有解所构成的一个空间，那么显然其基础解析是解空间的一个基，该解空间是向量空间 Rn，A∈m,nR^n，A\in{m,n} 的一个子空间，又称为 AA 的核。

若 AA 各列线性无关，则零空间中只有零向量，实际上可以理解为通过矩阵 AA 将原空间中映射为目标空间原点的向量空间，因此空间维度为 n−rn-r.

行空间​

可以认为是转置后的列空间，是向量空间 RnR^n 的子空间，空间维度为 rr.

左零空间​

转置后的零空间，是向量空间 RmR^m 的子空间；左零空间和行空间的对应关系与列空间和零空间类似，因此空间维度为 m−rm-r.