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特征方程

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学习微分方式时会遇到特征方程，求解数列通项也会遇到特征方程，线性代数中也有特征方程，那么特征方程到底是什么呢？

先给出答案，他们都可以归结于线性代数中的特征方程。

常系数齐次线性递推数列​

假设我们有 k 阶常系数线性递推数列

a(n+k)=c1a(n+k−1)+⋯+cka(n)(1)a(n+k)=c_{1}a(n+k-1)+\cdots+c_{k}a(n) \tag{1}

其中 k>0k>0，c1,⋯ ,ckc_{1},\cdots,c_{k} 为常数，其中 ck≠0c_{k}\neq 0，其特征方程

λk−c1λk−1−⋯−ck−1λ−ck=0(2)\lambda^k-c_{1}\lambda^{k-1}-\cdots-c_{k-1}\lambda-c_{k}=0 \tag2

特征方程的 kk 个解是该线性递推数列的特征根。

线性代数中的特征方程​

见 此

联系​

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由上可以看到，特征方程伴随着方阵出现，但是齐次线性递推数列的矩阵在哪里呢？

对于 k 阶常系数线性递推数列，可以使用变量代换的方法来降低阶数，将其变为 k 元一阶线性差分方程组

{a1(n+1)=c1c1(n)+c2a2(n)+…+ck−1ak−1(n)+ckak(n)a2(n+1)=a1(n)a3(n+1)=a2(n)⋯ak(n+1)=ak−1(n)\left\{ \begin{align*} a_{1}(n+1) &= c_{1}c_1(n) + c_{2}a_2(n) + \ldots + c_{k-1}a_{k-1}(n) + c_{k}a_{k}(n) \\ a_{2}(n+1) &= a_{1}(n)\\ a_{3}(n+1) &= a_{2}(n)\\ &\cdots \\ a_{k}(n+1) &= a_{k-1}(n)\\ \end{align*}\right.
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常微分方程按照同样的方法可以转换为差分方程组，形式类似。

则其所表示的矩阵为

[c1c2⋯ck10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯0]\begin{bmatrix} c_{1} & c_{2}& \cdots & c_{{k}} \\ 1& 0 &\cdots &0 \\ 0& 1 &\cdots &0 \\ \vdots& \vdots& \ddots&\vdots\\0 &0& \cdots &0 \end{bmatrix}

而 (2)(2) 式恰好是上面矩阵的特征方程。

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后面的看不懂了…