向量代数

向量积

也称作 叉乘，其结果还是一个向量，方向由右手定则确定，计算方式

$$a\times b=\begin{vmatrix} i &j&k \\ a_{x}&a_{y}&a_{z} \\ b_{x}&b_{y}&b_{z} \end{vmatrix}$$

模长计算为

$$|a\times b|=|a| |b|\sin\theta$$

运算规律

$a\times b=-(b\times a)$

分配律：$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$.

几何应用

1. 求同时垂直于两向量的向量；
2. 求以两向量为邻边的平行四边形的面积：$S=|a\times b|$；
3. 判断两向量平行：$a\times b=0$；

混合积

为数量积和向量积的混合。

$$(abc)=(a\times b)\cdot c$$

代数表示为

$$(abc)=\begin{vmatrix} a_{x}&a_{y}&a_{z} \\ b_{x}&b_{y}&b_{z} \\ c_{x}&c_{y}&c_{z} \end{vmatrix}$$

运算具有轮换对称性：$(abc)=(bca)=(cab)$

交换则变号：$(abc)=-(acb)$

一个以这三个向量为棱的平行六面体的面积为 $|(abc)|$.

若三个向量共面，则 $(abc)=0$，则从矩阵行列式和混合积的代数表示中可以看出来。