常用不等式

均值不等式

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$

当 a 全相等时取得等号。

三角不等式

$$|a+b| \leq |a|+|b|$$

当 ab 同号时取得等号。

柯西 - 施瓦茨不等式

$$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$$

当 $a_i = b_i * c_i$ 时取得等号。

赫尔德不等式

设 $p > 1$，若 $\frac1p + \frac1q = 1$， $a_i, b_i$ 为非负实数：

$$\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^q\right)^{\frac{1}{q}} \geq \sum_{i=1}^{n}a_ib_i$$

当 $\{a_i\},\{b_i\}$ 中至少存在一个零数列，或存在 $c_1,c_2 >0$，使得 $c_1 a_i^p = c_2 b_i^q$ 成立，取得等号。

闵可夫斯基不等式

$1<p<\infty$，其中 $a_i, b_i > 0$，取得等号条件与赫尔德不等式类似。

$$\left(\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{\frac{1}{p}}$$

若 $p<1$，不等式符号则取反。

闵可夫斯基不等式是 p 维度量空间下的三角不等式，可以使用赫尔德不等式证明。